微積分 (二)
 
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(95下)微積分(二)

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2

內容簡介


第八章 數列、級數與泰勒展開式

8-1無窮數列

定義:假如{an }表示一個數列, 則無窮項之和是謂無窮級數,簡稱級數。表之如下:                    

例】求級數     的和

【解】 S1= 1/2  S2= 3/4  S3= 7/8 …
         
and  


8-2 級數的收斂/發散

定義:如果部分和數列{Sn }的極限值存在, 則級數收斂,表為
               
反之,如果{Sn }的極限值不存在, 則級數發散。

例】求級數   的和

【解】 S1= 1- 1/2
              S2= (1- 1/2)+ (1/2-1/3)= 1- 1/3
              S3= (1- 1/2)+ (1/2-1/3)+ (1/3-1/4)= 1- 1/4
                  ...
               Sn= 1- 1/(n+1) ,    


8-3 幾何級數的收斂

定義:一個公比為 r 的幾何級數,如果|r |1則幾何級數發散,如果0<|r |<1則幾何級數收斂。而且  

例】利用幾何級數將循環小數0.06寫成為有理數

【解】

 


8-4 收斂級數第n項的極限

定義:假如級數 收斂,則    這個定理告訴我們如果級數收斂,則第n項的極限趨近於0 . 但是逆敘述不成立, 即級數不一定會收斂。例如: 是發散

例】判斷級數   是收斂或發散

【解】因為不等於0 所以級數發散



第九章 平面向量與極座標

9-1 向量函數

定義:

例】

()

【解】


9-2 極座標曲線上的微積分運算

定義極座標是圖面的表示方式,拿來解釋理論、說明問題,比一大堆的文字敘述更容易讓人清楚、一目了然。極坐標之由來:

   雅各.伯利努(1654-1705)被認為是極坐標(polar coordinates)的發現者,他於 1691年引入平面上的極坐標,就是在平面上 用極徑和極角來表示點的位置的坐標。事實上牛頓也有類似極坐標的思想,只是他的工 作直到1736年才為人所知。1729年赫爾曼( 1678-1733)用極坐標去研究曲線,並給出了 直角坐標到極坐標的變換公式。歐拉(1707- 1783)更用了三角函數來擴充了極坐標的使用範圍,成為現在所使用的極坐標理論。

例】設極方程式12sin(3a),求 a 範圍。

【解】
           考慮廣義角,
           所以



第十章 空間向量與運動

弧長與單位切向量

定義

假設平滑曲線由函數表之,同時滿足一階導數在區間[a, b]連續(continuously differentiable), 考慮[a, b]一個分割 a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b,則弧長趨近

依照黎曼和觀念,當分割使得||Δ||→0,則弧長為

 

類似的情形,如果平滑曲線在區間[c, d]由函數x=g(y)表之,則弧長為

 

例】求曲線(y-1)3=x2 x-軸區間[0, 8]的弧長。

【解】

將曲線(y-1)3=x2表為y=f(x)=x2/3+1
 y '=(2/3)x-1/3 , x0因此在[0, 8]的積分會有小問題,將來學到瑕積分可以解決。

所以將曲線(y-1)3=x2表為x=g(y)=(y-1)3/2, y-軸區間[1, 5]。得 x'=(3/2)(y-1)1/2 ,
 1+x' 2=1+(9/4)(y-1)=(9y-5)/4
, 故弧長為



第十一章 多變數函數與其導數

11-1 偏導數

定義函數 z=f(x,y)在點(x0,y0)的某一鄰域內有定義,當y固定在y0xx0處有增量Δx時,相應的函數有增量

f(x0 + Δx,y0) f(x0,y0)

如果

\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x_0 + \Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x\ }

存在,則稱此極限為函數z=f(x,y),在點(x0,y0)處對x的偏導數,記作

\frac{\partial z}{\partial x} \Bigg|_{x=x_0,y=y_0}\frac{\partial f}{\partial x} \Bigg|_{x=x_0,y=y_0}{z_x} \Bigg|_{x=x_0,y=y_0} 或.

2變數函數有2個導函數. X變化時.Y為常數的變化率 Y變化時.X為常數的變化率

例】求一階偏導數f(x,y)=ln(2x3y)

【解】


11-2 連鎖律

定義微分世界中連鎖率的想法 , 在積分世界中轉變成了變數變換定理.相對的 , 微分中的微分乘法規則 , 在積分中則變成了分部積分.微分和積分的架構之所以可以配合的這麼好是因為它們是兩種互逆運算.

例】速度問在t=1秒時的瞬時加速度?

【解


             瞬時加速度


             則


11-2 方向導數、梯度、切平面

定義梯度的意義為最大斜率導數方向
一個純量場用了梯度後 在帶你任意點進去 就可得到那點最大的斜率

例】

(1) f在點在(0,0)點沿(1/2,跟號3 /2)的方向導數?
(2)
設求曲面z=f(x,y)在點(0,5)的切平面方程式

【解

1. (0,0)沿著的方向導數

2.曲面 z=f(x,y)=yex-x2-->F(x,y,z)=z-yex+x2 其上一點(0, 5,5)的切平面法向量

==(-yex+x2, -ex,1)代入(x,y,z)=(0,5,5)=(-5,-1,1)

切平面: -5(x-5)-(y-5)+(z-5)=0, -5x-y-z+25=0


11-3 極值與鞍點

定義

局部最大值: 如果存在一個 ε > 0, 使的所有滿足|x-x*| < ε 的x都有f(x*) f(x) 我們就把點x*稱為一個函數 f 的局部最大值. 函數圖像上看,局部最大值就像是山頂。
局部最小值: 如果存在一個 ε > 0, 使的所有滿足|x-x*| < ε 的x都有f(x*)
f(x) 我們就把點x*稱為一個函數 f 的局部最小值. 函數圖像上看,局部最小值就像是山谷的底部。

全局(或稱'絕對')最大值 如果點x* 對於任何x都滿足f(x*) f(x),則點點x*稱為全局最大值.同樣如果如果點x* 對於任何x都滿足f(x*) f(x),則點點x*稱為全局最小值. 全局最值一定是局部極值,反之則不然.

極值的概念不僅僅限於定義在實數上的函數.定義在任何集合上的實數值函數都可以討論其最大最小值. 為了定義局部極值,函數值必須為實數,同時此函數的定義域上必須能夠定義鄰域. 鄰域的概念使得在x的定義域上可以有|x - x*| < ε.

局部最大值(最小值)也被稱為極值(或局部最優值),全局最大值(最小值)也被稱為最值(或全局最優值).

一個光滑函數曲線曲面,或超曲面)的鞍點鄰域的曲線,曲面,或超曲面,都位於這點的切線的不同邊。鞍點這詞語來自於不定二次型 的二維圖形,像個馬鞍:在x-軸方嚮往上曲,在y-軸方嚮往下曲。

例】

解】

可以姊出 函數 在 (x,y)=(1,2) or (-1,-2) 有極值,

在搭配 Hessian matrix去看, 要矩陣正定 有極小值, 負定 有極大值

所以計算 f(1,2)=-24 f(-1,-2)=24, 所以極大值=24

相對極小值是 f(1,2)=-24

鞍點是 (-1,2) 與 (1,-2) [鞍點的定義是,兩個偏微分=0 and Hessian Matric 不正定也不負定]


1-4 Lagrange乘數

定義先判斷題目的目標與條件, 再者, 對題目的各項係數作偏微分等於0, 再帶入條件, 解各項係數的值, 最後, 若有求最大最小值, 則會出現正負號的雙答案, 把求出來的值, 帶回原式即為答案。

例】(x2+4y2+9z2)(12+22+32)≧(x+2y+3z)2

解】

f(x,y,z)=x+y+z,g(x,y,z)=x2+4y2+9z2-36

▽f(x,y,z)=λ▽g(x,y,z)

=>1=2x*λ--(1)

1=8y*λ----(2)

1=18z*λ---(3)

x2+4y2+9z2=36---(4)

λ≠0,x=1/2λ,y=1/8λ,z=1/18λ代入(4)

得到λ=±7/72

(x,y,z)=(±36/7,±9/7,±/7)

(x,y,z)=(36/7,9/7,4/7)最大值7,(x,y,z)=(-36/7,-9/7,-4/7)最小值-7


11-5 双變數泰勒展開式

定義 f(x) 是一個 n 次多項式,,這個展開式, 我們稱之為 f(x) x=a 附近的泰勒級數(或是 "泰勒展開式" ), 來紀念英國數學家 Brook Taylor, 1685-1731.泰勒展開式使用的前提是其一次導數, 二次導數, .... n次導數都要存在.然而, 在數學上我們通常都把泰勒展開式拿來求近似值,因為在各種數學的應用領域中, 如工程, 統計,...等等,並不需要求到實際值,往往只需要可接受誤差範圍的近似值即可, 也就是說, 若誤差夠小也可以當作 f(x) 的近似值.

例】求在(x,y)=(0,0)這一點的泰勒展開式,且n=2

解】x作偏微分,y作偏微分,為對y再對x作偏微分,同理為對y再對x作偏微分,

,A=|1 1| |1 1 |代表一矩陣,f(x,y)(x,y)=(0,0)的泰勒展開式為:

其中

為餘式,


第十二章 多重積分

12-1 雙重積分

定義f(x,y)\,\!是有界閉區域D上的有界函數。將閉區域D任意分成n個小閉區域\Delta\sigma_1,\;\Delta\sigma_2,\;...\;,\;\Delta\sigma_n,其中Δσi表示第i個小閉區域,也表示它的面積。在每個Δσi上任取一點(\xi_i,\;\eta_i),作乘積f(\xi_i,\;\eta_i)\Delta\sigma_i(i=1,\;2,\;...\;,\;n),並作和\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\;\eta_i)\Delta\sigma_i。如果當各小閉區域的直徑中的最大值λ趨於零時,這和的極限總存在,則稱此極限為函數f(x,y)\,\!在閉區域D上的二重積分,記做\iint_{D} f(x,y)\,\!\, d\sigma,即\iint_{D} f(x,y)\,\!\, d\sigma \lim_{\lambda \to {0}}\sum_{i=1}^n 	\mu(\xi_i,\;\eta_i)\Delta\sigma_i其中f(x,y)\,\!叫做被積函數f(x,y)\,\!\, d\sigma 叫做被積表達式dσ叫做面積元素xy叫做積分變數D叫做積分區域\sum_{i=1}^n 	\mu(\xi_i,\;\eta_i)\Delta\sigma_i叫做積分和

例】

解】


12-2 轉動慣量

定義

(一)對單一質點質量m而言,到某一旋轉軸距離r,其轉動慣量(二)對一長度L質量m之木棍而言,若以中點作旋轉軸,轉動慣量,若以端點作旋轉軸,轉動慣量
(三)對一質量M半徑R實心圓柱體,轉動慣量
(四)對一無厚度且空心的質量M半徑R空心圓柱體,轉動慣量
(五)對一有厚度且質量M,內半徑R1外半徑R2的空心圓柱體,轉動慣量
(六)對一質量M,半徑R實心球體,轉動慣量

例】轉動慣量根據物體的形狀不同、轉軸不同有不同的計算公式,像以重心為軸旋轉的棒子,它的轉動慣量公式為,那如果同樣是棒狀物體,但不是以重心為軸旋轉,而是在別的位置〈例:距重心xcm〉那還有公式可以算他的轉動慣量嗎?〈例如轉筆時〉

解】利用變換變數的手法,用drdm代換掉,由
 
時,也就是以一端為旋轉軸時,轉動慣量
時,也就是以中點為旋轉軸時,轉動慣量


12-3 三重積分

定義 三重積分就是積分算三次

例】求區域的體積

解】, z的上下限[-2,2]

體積


12-4 轉動慣量

定義

(一)對單一質點質量m而言,到某一旋轉軸距離r,其轉動慣量
(二)對一長度L質量m之木棍而言,若以中點作旋轉軸,轉動慣量
若以端點作旋轉軸,轉動慣量
(三)對一質量M半徑R實心圓柱體,轉動慣量
(四)對一無厚度且空心的質量M半徑R空心圓柱體,轉動慣量
(五)對一有厚度且質量M,內半徑R1外半徑R2的空心圓柱體,轉動慣量
(六)對一質量M,半徑R實心球體,轉動慣量

例】有一鐵製圓柱體,直徑為84mm,長度為60mm,重量為2.23kg旋轉支撐點位於圓柱體中心,請問轉動慣量為多少?

解】(實心圓柱對圓柱軸)的轉動慣量


12-5 柱狀座標的三重積分

定義 圓柱座標系是個三維座標系統.它是二維極座標系的延伸,加上了第三個座標 h\, 來表示 P 點離平面的高低.如圖,用圓柱座標系,P 點的座標是 (r,\ \theta,\ h)

  • r\, P 點與 z-軸的垂直距離,
  • \theta\, 是線 OP xy-面的投影線與正 x-軸之間的夾角,
  • h\, P 點的 z-軸座標.
  • 從圓柱座標轉換至直角座標的涵數是f(x,\ y,\ z)=(r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ h)\

用於理工科技方面, 值得推薦的國際標準標記法(ISO 31-11)(\rho,\ \phi,\ z).有些數學家採用 (r,\ \theta,\ z)

圓柱座標常被用來分析,選用 z-軸為對稱軸,有軸對稱特性的物體.例如,一個無限長的圓柱,具有直角座標方程式 x^2+y^2=c^2\,;用圓柱座標來表示,有一個非常簡易的方程式 r=c\,.這也是圓柱座標系名稱的由來.

例】

becomes
in cylindrical coordinates.
亦為三重積分,如何化為柱面座標(cylindrical coordinates)

解】

重點一:
在直角座標中的微量體積dx dy dz, 若要轉變成柱面座標, 必須乘以 r兩種座標上之微量體積才相等: , 所以


重點二:
由積分式, 可知在x, y二維平面上, 該積分範圍為: {O:所圍區域}, 即第一象限內之圓O面積, 1/4之圓.轉換為柱面座標: , - - >三重積分轉換為:


12-6 多重積分的變數變換

定義先把橢圓變成圓,再用 spherical coordinate

例】Find , where D is the region bounded by the surface and with z>0.

解】

變數變換: 

所以   with z>0
     <=>  with v>0
     <=> 


     <=> 以 spherical coordinate 表示 ( Pi 代表圓周率 ) :
         rho : 0 ~ 1  phi : 0 ~ Pi / 4  theta : 0 ~ 2 Pi
附圖 : http://homelf.kimo.com.tw/exaomicron/image19.gif
S 代表積分符號。
   

  ( D ' 是變數變換後的區域,6 Jacobian matrix 的絕對值 )

     D '
     2 Pi Pi / 4 1
= 18 S  S  S  p cos(s) ( p² sin(s) ) dp ds dt  ( spherical coordinate )  0    0    0
       
   > 以 p, s, t 代替 rho, phi, theta,因為會出現亂碼
         1         Pi / 4         2 Pi
= 18 ( S p^3 dp ) ( S cos(s) sin(s) ds ) ( S 1 dt )
         0          0             0
=  18       
    =  18

    = 



第十三章 向量場積分

13-1線積分

定義 線積分表示面積

例】

 應用線積分(逆時針方向)及應用 Green theorem
求解∫c F dr=? 其中 F向量=[ -y/2 , x/2 ] c為四頂點(0,0) (2,0) ) (2,3) (0,3)

解】

線積分(逆時針方向)
∫c F dr= ∫ (-y/2 i + x/2 j )(dx i + dy j) =∫c [ (-y/2)dx +(x/2)dy ]
=> i
X方向的單位向量 ; jY方向的單位向量
4
頂點是逆時鐘方向,所以要分段
1. X=0 -> 2 , y=0 =>dy=0
∫[ (-y/2)dx +(x/2)dy ] =∫ (-y/2)dx =0 (
因為y=0)
2. X=2 , y=0 -> 3 =>dx=0
∫[ (-y/2)dx +(x/2)dy ] =∫(x/2)dy =3
3. X=2 ->0 , y= 3 =>dy=0
∫[ (-y/2)dx +(x/2)dy ] =∫ (-y/2)dx =3
4. X=0 , y= 3->0 =>dy=0
∫[ (-y/2)dx +(x/2)dy ] =∫(x/2)dy =0
∫c[ (-y/2)dx +(x/2)dy ] =0+3+3+0=6
應用 Green theorem
∫c F dr = ∫(▽ x F) d A => ▽=Del , A
是面積向量 , x是外積(curls)
(▽ x F)=1/2 k -(-1/2)k = k , k
z方向的單位向量
∫(▽ x F) d A=∫(dx )(dy)=2*3=6


13-2 向量場

定義

向量場:假如一個空間中的每一點都可以以一個向量(有方向,大小)來代表的話,那麼這個場就是向量場。向量場有風場、引力場、電磁場、水流場等等。

例】

 ,試證:F為一保守向量場

解】

保守向量場滿足▽×(F→)0,或(F→)可以表示成▽Φ的形式!

所以(F→)是保守向量場。


13-3 路徑無關

定義首先你要了解「保守場」這三個字,保守場簡單的說就是:在保守場中做功與路徑無關,例子:你把一個箱子由一樓搬到三樓用走樓梯的,你就對那個箱子做了功,(地表附近的重力場可視為保守場),而做功之後,你有就了重力位能,這個能量有什麼差呢?你把那個箱子由三樓丟到一樓,讓它自由落體你就會知道那個能量有多大,但你今天如果不用走樓梯,坐電梯把箱子搬到三樓,你對那個箱子做的功,還是不會變的,而重力位能還是相同的,因為地表的重力場,受到其他外力(如:科氏力等)的影響實在太小,可以乎略,所以他可以視為保守場,保守場作功與路徑無關就是這個意思。

例】計算積分值∫c F•dr , (-1,1,-1) to (2,4,8)

解】r(t)=ti+t2j+t3k

F(x,y,z)=(2-ez)i+(2y-1)j+(2-xez)k         


        

∴ F 為一保守力場

因此可找到一純量函數 f(x,y,z),使得 ▽f=F

...(1)

   ...(2)

  ...(3)

分別對x,y,z積分

   f=2x-xez+u(y,z) ...(4)

   f=y2-y+v(x,z) ...(5)

   f=2z-xez+w(x,y) ...(6)

比較(4)~(6)可得

   f(x,y,z)=2x-xez+y2-y+2z+c

F的線積分與路徑無關,即

c F•dr = f(2,4,8)-f(-1,1,-1)

    = [2×2-2e8+42-4+2×8+c]-[2×(-1)-(-1)e-1+12-1+2×(-1)+c]

    = 36-2e8-e-1


13-4 平面的Green定理

定義 Green 定理基本上是線積分與面積分之關係,實際上就是微積分基本定理的推廣。

Green 定理:
C 為平面上一分段平滑的封閉曲線而其所圍區域為 $\mathcal{R}$,假設函數 P(x,y), Q(x,y) 為連續且一次偏導數也連續則等式成立

\begin{displaymath}<br>\oint_c P dx + Qdy<br>= \int \!\! \int_{\mathcal{R}} (\frac{\pa...<br>...partial y} \\<br>P & Q<br>\end{array} \right\vert } dA \eqno{(9)}<br>\end{displaymath}

例】

c:(1.1)-->(-1.1)--->(-1.-1)--->(-1.1)---->(1.1)畫起來成一個方形

【解



13-5 曲面面積與積分

定義曲面面積可用定積分來算

對任何函數f(x)[a,b]上之定積分,考慮三個步驟
1.
將閉區間[a,b]n等分,其分割點依序為
a, a
(ba)/n, a2(ba)/n,…, a(n1)(ba)/n, an(ba)/n, b
2.
對每一個ii1, 2, …, n選取miMi分別在閉區間[a(i1)(ba)/n, ai(ba)/n]上的絕對極小值及絕對極大值
則下和為Ln(ba)(m1m2mn)/n
上和為Un(ba)(M1M2Mn)/n
計算lim(n→∞)Lnlim(n→∞)UnS
則稱Sf(x)[a,b]上之定積分
而以表之
a
b分別為積分的下限與上限
接著開始求面積,首先求出f(x)x軸的交點,再根據上下限求出面積,如果你不動f(x)積分,則面積為(上面-下面)


公式:

例】f(x)y0x0x1所圍成的面積S

解】


13-7 Stokes定理

定義又叫做旋度定理\begin{displaymath}
\oint_{\partial S}\vec F\cdot\vec T ds
=\int \!\! \int_S(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n dA
\end{displaymath}

例】試證旋度定理

解】

先令F(x,y,z)= θ(x,y,z
α=
向量
∫∫VXF•dS=F•dr
V•Xα)=VθXα)+Vα•Xα)
VθXα)+Vα•Xα)=α•(VθXθ)=α•(VXθ)
Vα•Xα)=0
∫∫(VθXα)•dS=θα•dr
把兩邊的α提出來就可以互相消掉
∫∫(nXVθ)•dS=θdr
∫∫dSXVθ=θdr
where dS=n•dS


13-8 散度定理

定義

散度定理則是三度空間中的一個定理,這裡在向量積分中我們有以下漂亮的定理:
定理A
D RN 中之一個開集,則對連續可微的向量場 w,存在唯一的純量場 v,使得 對所有 u 都成立。而且如果 ,則 。
定理B
v RN 上的一個連續向量場,且對所有 D 中的曲線, 與路徑無關,則在 D 上存在一個連續可微分的純量場 u 使得 對所有 D 中的點 p 成立。這裡是梯度算子 。

例】

已知球的方程式為為半徑為a 體積用散度定理證明 球面積

解】

∫∫∫▽.FdV=∫∫ndA

因為球的表面一定跟n垂直,所以 ndA 其實就是 dA

∫∫ndA =∫∫dA 這就是我們要的表面積

∫∫∫▽.FdV 散度定理知道這邊的 F = n

n = 2 / r dV = 4πr2dr (題目給的V微分)

=>▽ndV = (2 / r) * 4πr2 dr = 8πrdr

∫8πrdr = 4πa( 0a )

 

資料來源:

維基百科

奇摩知識家

東吳大學教學卓越計劃

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