- 本網頁主要在探討及發展偶數( 6, 8, 10, 12, .....)階同心魔方陣的一些填製策略。
- 填製偶數階的魔方陣時，單偶數( 即 6, 10, 14, 18, 22 .... 等可轉換成 4 k + 2 型式的偶數)和雙偶數
( 即 4, 8, 12, 16, 20 .... 等可轉換成 4 k 型式的偶數)階的填製要領會有稍許的不同。
- 一個 n 階魔方陣的最外圍一圈共有 4 ( n - 1 ) 個數字，且必為
| 1, 2, 3, ...... 2 n - 2
和 n 2 - 2 n -1, n 2 - 2 n, n 2 - 2 n + 1, ......, n 2 |
- 這 4 ( n - 1 ) 個數字也必定會分成 2 ( n - 1 ) 組數對，即
| ( 1, n2 )、( 2, n2 - 1 )、......、
(2 n - 2、n 2 - 2 n -1) |
每個數對的和都是 n2 + 1，我們稱做互為補數。
- 當數對中的某一個數被安放在方陣外圍的某一個位置後，數對中互補的另一個數
其位置也會跟著被確定，其規則如下：
- 如果第一個數的位置在方陣的四個角落之一，補數的位置必在對角線上的另一個角落。
- 如果第一個數的位置在方陣上下方的某一行中，補數的位置必在該行的另一個端點。
- 如果第一個數的位置在方陣左右方的某一列中，補數的位置必在該列的另一個端點。
為了方便往後的陳述，姑且稱此規則為補數填製規則。
- 因為同心魔方陣的這一個特殊性質，所以在填製時其實只要考慮 1, 2, 3, ...... 2 n - 2 如何填製到
下圖的 a、b 兩個位置及 U、B、L、R 各區即可。
| a | ��U�� | b |
�
L
� | ����� | R |
| � | ��B�� | � |
|
| ( 圖 1 ) 同心方陣填製區示意圖 |
- 假如用 Σ(U) 表示 U 區中數字範圍在 1 ∼ 2 n - 2 的各數字之和，而 C(U)表示 U 區中數字範圍
在 1 ∼ 2 n - 2 的數字個數，則很容易可証明只要符合以下填製規則者，必定可形成同心魔方陣：
- C(B) = C(U) + 2 = n ÷2 即 C(B) + C(U) = n - 2
- Σ(U) + a + b = Σ(B)
- C(L) = C(R) = n ÷2 - 1 即 C(L) + C(R) = n - 2
- Σ(L) + a = Σ(R) + b
為了方便往後的陳述，姑且稱此規則為尤怪定律。
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